Trong trường hợp phương trình bậc hai, định lý Viète thường được dùng để tính nhẩm nghiệm số nguyên (nếu có) của phương trình.
Ví dụ: Có thể nhẩm tính phương trình: x 2 − 5 x + 6 = 0 {\displaystyle x^{2}-5x+6=0} có hai nghiệm là 2 và 3 vì 2+3=5 và 2 . {\displaystyle .\,} 3 = 6.
Định lý Viète cho phương trình bậc 3 hay cao hơn thường ít thấy trong toán học nghiên cứu, nhưng ngược lại khá quen thuộc trong các kỳ thi Olympic toán học. Định lý Vi-ét được ứng dụng rất nhiều trong chương trình toán học học kỳ 2, lớp 9 tại Việt Nam.
Áp dụng trong phương trình bậc hai a x 2 + b x + c = 0 , a ≠ 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\,a\neq 0}
Khi có tổng và tích của hai nghiệm { x 1 + x 2 = S = − b a x 1 x 2 = P = c a {\displaystyle {\begin{cases}{x_{1}+x_{2}=S={\frac {-b}{a}}}\\{x_{1}x_{2}=P={\frac {c}{a}}}\\\end{cases}}} với S 2 − 4 P ≥ 0 {\displaystyle S^{2}-4P\geq 0}
Khi đó x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} là nghiệm của phương trình X 2 − S X + P = 0 {\displaystyle X^{2}-SX+P=0}
Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ x 1 x 2 < 0 ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}x_{2}<0\Leftrightarrow } P < 0 {\displaystyle P<0} hoặc tích của a c < 0 {\displaystyle ac<0} (tức a {\displaystyle a} và c {\displaystyle c} trái dấu nhau)
Phương trình có hai nghiệmdương phân biệt ⇔ 0 < x 1 < x 2 ⇔ { Δ > 0 S > 0 P > 0 {\displaystyle \Leftrightarrow 0<x_{1}<x_{2}\Leftrightarrow {\begin{cases}{\Delta >0}\\{S>0}\\{P>0}\\\end{cases}}}
Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt ⇔ x 1 < x 2 < 0 ⇔ { Δ > 0 S < 0 P > 0 {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}<x_{2}<0\Leftrightarrow {\begin{cases}{\Delta >0}\\{S<0}\\{P>0}\\\end{cases}}}
Phương trình có đúng một nghiệm dương x 0 {\displaystyle x_{0}} ⇔ 0 < x 0 ⇔ { Δ = 0 x 0 + x 0 = S > 0 x 0 x 0 = P > 0 {\displaystyle \Leftrightarrow 0<x_{0}\Leftrightarrow {\begin{cases}{\Delta =0}\\{x_{0}+x_{0}=S>0}\\{x_{0}x_{0}=P>0}\\\end{cases}}}
Phương trình có đúng một nghiệm âm x 0 {\displaystyle x_{0}} ⇔ 0 < x 0 ⇔ { Δ = 0 x 0 + x 0 = S < 0 x 0 x 0 = P > 0 {\displaystyle \Leftrightarrow 0<x_{0}\Leftrightarrow {\begin{cases}{\Delta =0}\\{x_{0}+x_{0}=S<0}\\{x_{0}x_{0}=P>0}\\\end{cases}}}
Nhẩm nghiệm nhanh chóng
Khi a + b + c = 0 {\displaystyle a+b+c=0} thì phương trình bậc hai có hai nghiệm là x 1 = 1 {\displaystyle x_{1}=1} và x 2 = c / a {\displaystyle x_{2}=c/a}
Khi a − b + c = 0 {\displaystyle a-b+c=0} thì phương trình bậc hai có hai nghiệm là x 1 = − 1 {\displaystyle x_{1}=-1} và x 2 = − c / a {\displaystyle x_{2}=-c/a}
Phân tích đa thức thành nhân tử
Nếu hàm số f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)={\displaystyle ax^{2}+bx+c}} có 2 nghiệm x 1 {\displaystyle x_{1}} và x 2 {\displaystyle x_{2}} thì nó có thể phân tích thành nhân tử f ( x ) = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) {\displaystyle f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})}
Nếu hàm số f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)={\displaystyle ax^{2}+bx+c}} chỉ có 1 nghiệm x 0 {\displaystyle x_{0}} thì nó có thể phân tích thành nhân tử f ( x ) = a ( x − x 0 ) 2 {\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}}
Áp dụng trong phương trình bậc ba a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} :
Nhẩm nghiệm nhanh:
Khi a + b + c + d = 0 {\displaystyle a+b+c+d=0} thì phương trình bậc ba có một nghiệm x 1 = 1 {\displaystyle x_{1}=1}
Khi a − b + c − d = 0 {\displaystyle a-b+c-d=0} thì phương trình bậc ba có một nghiệm x 1 = − 1 {\displaystyle x_{1}=-1}
